Generadors d’un espai vectorial

« Back to Glossary Index

Tot conjunt de vectors tals que tot vector de l’espai (o subespai) es pot posar com a combinació lineal del conjunt de generadors.

Els generadors d’un espai vectorial (o conjunt generador) són un conjunt de vectors que, combinats linealment, poden generar qualsevol vector d’aquell espai.

Definició formal

Sigui V un espai vectorial sobre un cos K (per exemple, R. Un conjunt de vectors ${v_1, v_2, + ... + , v_n\}$ és un conjunt generador de V si qualsevol vector v ∈ V es pot expressar com una combinació lineal d’aquests vectors:

$v = c_1 v_1 + c_2 v_2 + \dots + c_n v_n, \quad \text{on } c_i \in \mathbb{K}, on c_i ∈ K$ >

Això vol dir que els vectors del conjunt generador “cobreixen” tot l’espai V.

Exemples

Exemple 1: $\mathbb{R}^2$

Considerem els vectors:

$v_1 = (1,0), \quad v_2 = (0,1)$

Aquests dos vectors poden generar qualsevol vector (x,y) de $\mathbb{R}^2$ com:

(x,y)=x(1,0)+y(0,1)

Això vol dir que (1,0) és un conjunt generador de $\mathbb{R}^2$

Exemple 2: $\mathbb{R}^3$

Considerem els vectors:

$v_1 = (1,0,0), \quad v_2 = (0,1,0), \quad v_3 = (0,0,1)$

Qualsevol vector (x,y,z) $\mathbb{R}^3$ es pot expressar com:

(x,y,z)=x(1,0,0)+y(0,1,0)+z(0,0,1)

Per tant, aquests tres vectors són un conjunt generador de $\mathbb{R}^3$ >

Relació amb la Base

Un conjunt generador pot tenir vectors redundants (linealment dependents). Si el conjunt generador és també linealment independent, llavors és una base de l’espai vectorial.

Per exemple:

$}$ és base de $\mathbb{R}^3 </span></span><span class="katex"><span class="katex-mathml">$
és un conjunt generador de $mathbb{R}^3 [/$ , però no és base perquè els vectors són linealment dependents.

Conclusió

Els generadors d’un espai vectorial són aquells vectors que poden combinar-se per obtenir qualsevol vector de l’espai. Si són independents, formen una base. Saber trobar i reduir un conjunt generador a una base és fonamental en àlgebra lineal!

« Back to Glossary Index